Question

已知函数f(x)=log2(x-1)，g(

2x-t

2

)=2x(t∈R)
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）若t=1，求当x∈[2，3]时，g（x）-f（x）的最小值；
（3）若在x∈[2，3]时，恒有g（x）≥f（x）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，即可求y=g（x）的解析式；
（2）求出g（x）-f（x）的表达式，利用基本不等式的性质即可求出函数的最小值；
（3）将不等式恒成立转化求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）令

2x-t

2

=p，则x=log₂（2p+t）
故g（p）=2log₂（2p+t），即g（x）=2log₂（2x+t）
（2）g(x)-f(x)=log2

(2x+1)2

x-1

因

(2x+1)2

x-1

=4(x-1)+

9

x-1

+12≥24，当且仅当4(x-1)=

9

x-1

时取等号
故当x=

5

2

时，g（x）-f（x）的最小值为log₂24
（3）由2log₂（2x+t）≥log₂（x-1）得2x+t≥

x-1

即t≥

x-1

-2x在x∈[2，3]内恒成立
先利用换元法求y=

x-1

-2x在x∈[2，3]上的最大值，为-3
所以t≥-3

点评：本题主要考查与对数有关的基本运算，函数解析式的求解，以及不等式恒成立问题，综合性较强．