Question

已知a_n+1=

an-6

an+6

，a₁=2，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：设bn=

an+2

an+3

，则bn+1=

an+1+2

an+1+3

=

an-6 an+6 +2

an-6 an+6 +3

=

3an+6

4an+12

=

3

4

bn．由此能求出{b_n}是首项为

4

5

，公比为

3

4

的等比数列，从而能求出a_n．

解答： 解：∵a_n+1=

an-6

an+6

，a₁=2，设bn=

an+2

an+3

∴bn+1=

an+1+2

an+1+3

=

an-6 an+6 +2

an-6 an+6 +3

=

3an+6

4an+12

=

3

4

bn．
又b1=

a1+2

a1+3

=

4

5

，
{b_n}是首项为

4

5

，公比为

3

4

的等比数列，
∴b_n=

an+2

an+3

=

4

5

•(

3

4

)n-1，
解得a_n=

3• 4 5 •( 3 4 )n-1-2

2- 4 5 •( 3 4 )n-1

=

6•( 3 4 )n-1-5

5-2( 3 4 )n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．