Question

已知二次函数h(x)=ax2+3x+c(c＞3)，其中函数h′(x)的零点为

3

2

，f（x）=lnx-h（x）
（1）若函数f(x)在(

1

2

，m+

1

4

)上为单调函数，求m的范围
（2）若函数y=2x-lnx，x∈[1，4]的图象总在y=f（x）图象上方，求c的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由h′（x）的零点为

3

2

，得h′（

3

2

）=0，可求a，由函数f(x)在(

1

2

，m+

1

4

)上为单调函数，知f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（

1

2

，m+

1

4

）上恒成立，利用二次函数的性质可得

1

2

＜m+

1

4

≤1，解出即可；
（2）由函数y=2x-lnx，x∈[1，4]的图象总在y=f（x）图象上方，可得2x-lnx＞f（x），即5x-x²-2lnx+c＞0在∈[1，4]上恒成立，令g（x）=5x-x²-2lnx+c，x∈[1，4]，利用导数可求得g（x）_min，从而有g（x）_min＞0，解出可得；

解答： 解：（1）h′（x）=2ax+3，
∵h′（x）的零点为

3

2

，
∴h′（

3

2

）=2a×

3

2

+3=0，解得a=-1，
则f（x）=lnx-h（x）=lnx+x²-3x-c，
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
令f′（x）=0，得x=

1

2

或1，
∵y=2x²-3x+1的图象开口向上，且函数f(x)在(

1

2

，m+

1

4

)上为单调函数，
∴

1

2

＜m+

1

4

≤1，解得

1

4

＜m≤

3

4

，
故实数m的取值范围是（

1

4

，

3

4

]．
（2）∵函数y=2x-lnx，x∈[1，4]的图象总在y=f（x）图象上方，
∴2x-lnx＞f（x），即5x-x²-2lnx+c＞0在∈[1，4]上恒成立，
令g（x）=5x-x²-2lnx+c，x∈[1，4]，
则g′（x）=5-2x-

2

x

=-

2(x- 1 2 )(x-2)

x

，
当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）_min=min{g（1），g（4）}，
又g（1）=4+c，g（4）=4-2ln4+c，g（1）＞g（4），
∴g（x）_min=g（4）=4-2ln4+c，
∴4-2ln4+c＞0，解得c＞2ln4-4，
∴c的取值范围是（2ln4-4，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性、最值及函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．