Question

已知函数f（x）=（a+

b

x

）eⁿ，a，b为常数，a≠0．
（Ⅰ）若a=2，b=1，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，求函数f（x）在区间[1，2]的最小值；
（Ⅲ）若a=1，b=-2时，不等式f（x）≤lnx•eⁿ恒成立，判断代数式[（n+1）！]²与（n+1）e^n-2（n∈N^*）的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：第（Ⅰ）问求函数的单调区间，先对函数求导，然导函数在（0，+∞）正负判断函数的单调性；第（Ⅱ）问通过研究函数在区间[1，2]上的单调性，确定在何处取到函数的最小值；第（Ⅲ）问要利用不等式f（x）≤lnx•eⁿ恒成立，比较两个式子的大小，通过赋值的方法建立条件和问题之间的联系．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（a+

b

x

-

b

x2

)exe^x=（ax²+bx-b）

ex

x2

…1分
当a=2，b=1时，f′（x）=（2x²+x-1）

ex

x2

=（x+1）（2x-1）

ex

x2

…2分
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍去）…3分
因为

ex

x2

＞0，所以当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＜0，
f（x）是减函数…4分
当x∈（

1

2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，

1

2

）；
单调递增区间为（

1

2

，+∞）…5分
（Ⅱ）令g（x）=ax²+bx-b．
因为a＞0，b＞0，所以二次函数g（x）的图象开口向上，
对称轴x=-

b

2a

＜0，且g（1）=a＞0，…7分
所以g（x）＞0对一切x∈[1，2]恒成立，
又因为

ex

x2

＞0，所以f′（x）＞0对一切x∈[1，2]恒成立，…8分
所以f（x）在x∈[1，2]上为增函数，
故f（x）_min=f（1）=（a+b）e…10分
（Ⅲ）若a=1，b=-2时，不等式f（x）≤lnx•e^x恒成立，
化简得：（1-

2

x

)ex≤lnx•exe^x≤lnx•e^x，即lnx≥1-

2

x

恒成立，…11分
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，
ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，…12分
叠加得ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2．
则1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）…14分

点评：本题综合性较强，难度较大；考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的最值；第（Ⅲ）问解决的关键是要建立条件要要比较的两个式子之间的联系．