Question

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若BC=2EF，证明：
（Ⅰ）CF∥AB；
（Ⅱ）△BCD∽△GBD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,平行线分线段成比例定理

专题：立体几何

分析：（I）如图所示，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可证明；
（II）利用平行线的性质、平行四边形的性质、圆的性质、相似三角形的判定定理即可得出．

解答： 证明：（I）如图所示，
∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，
∴DE

∥

.

1

2

BC，
又BC=2EF，
∴DE=EF．
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF∥AB．
（II）∵CF∥AB，∴BC=AF．
由四边形ADCF是平行四边形，∴CD=AF．∴CD=CB，∴∠CBD=∠CDB．∵FG∥BC，∴∠BGD=∠CFD．
∵CF∥AB，∴∠BDG=∠CFD．
∴∠CBD=∠BDG=∠CDB=∠DGB．
∴△BCD∽△DBG．

点评：本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质、平行四边形的性质、圆的性质、相似三角形的判定定理，考查了推理能力，属于中档题．