Question

已知函数f（x）=alnx+

1

x

+

1

2x2

，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜

2

3

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：第（Ⅰ）问对函数f（x）求导，导数是含有参数a的表达式，要按a进行分类讨论；
第（Ⅱ）问利用导数证明不等式，要转化成函数求最值问题解决，利用放缩法进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

a

x

-

1

x2

-

1

x3

=

ax2-x-1

x3

…2分
   当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）内单调递减；…4分
   当a＞0时，x∈（0，

1+ 1+4a

2a

），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
   x∈（

1+ 1+4a

2a

，+∞)，f′（x）＞0，f（x）单调递增；…6分
  （Ⅱ）当a=2时，由（1）可知f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，
∴f（x）_max=f（1）=

3

2

，2lnx+

1

x

+

1

2x2

≥

3

2

…8分
  即2ln

1

x

+x+

x2

2

≥

3

2

，∴2lnx-x-

x2

2

≤-

3

2

∵（x-1）（e^-x-x）+2lnx=（x-1）e^-x-x²+x+2lnx
=（x-1）e^-x-

x2

2

+2x+(2lnx-x-

x2

2

)
＜（x-1）e^-x-

x2

2

+2x-

3

2

 令g（x）=（x-1）e^-x-

x2

2

+2x，x＞0
  而g′（x）=（2-x）（e^-x+1），可知x=2时，g（x）取得最大值，即g（x）≤g（2）=

1

e2

+2…10分
∴（x-1）e^-x-

x2

2

+2x+2lnx-x-

x2

2

=2lnx+(x-1)(e-x-x)＜

1

e2

+2-

3

2

＜

2

3

…12分

点评：本题是导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性及求函数的最值；考查了分类讨论、转化的思想及放缩法证明不等式．