题目内容

如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=
π
2
-α，矩形区域内的铺设水管的总费用为W．

（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,根据实际问题选择函数类型
专题：应用题,函数的性质及应用,导数的概念及应用
分析：（1）过E作EM⊥BC，垂足为M，由题意可得∠MEF=α，则MF=60tanα，EF=
60
cosα
，AE+FC=80-60tanα，进而可得答案；
（2））W=80-
60sinα
cosα
+
120
cosα
=80-
60(sinα-2)
cosα
．令f(α)=
sinα-2
cosα
，利用导数可求得f(α)max=-
3
，由此可得答案；
解答： 解：（1）过E作EM⊥BC，垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有MF=60tanα，EF=
60
cosα
，AE+FC=80-60tanα，
∴W=(80-60tanα)×1+
60
cosα
×2
=80+
120
cosα
-60tanα．
（2）W=80-
60sinα
cosα
+
120
cosα
=80-
60(sinα-2)
cosα
．
设f(α)=
sinα-2
cosα
，则f′(α)=
cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)
cos2α
=
1-2sinα
cos2α
．
令f'（α）=0，得1-2sinα=0，即sinα=
1
2
，得α=
π
6
．
列表
α (0，
π
6
)
π
6
 (
π
6
，α0)
f'（α） + 0 -
f（α） 单调递增 极大值 单调递减
∴当α=
π
6
时有f(α)max=-
3
，
此时有Wmin=80+60
3
．
点评：本题以实际问题为背景，考查三角函数的最值求解，考查应用导数求函数的最值，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来源于生活服务于生活．
练习册系列答案
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如图是一个算法流程图，则输出S的值是（　　）
A、31B、32C、63D、64
已知函数f（x）=（
1
3
）x，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}{bn＞0}的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，问使Tn＞
1005
2014
的最小正整数n是多少？
二次函数y=f（x）的图象的一部分如图所示
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树干周长（单位：cm） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）
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槐树 4 20 y 6
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已知a≥0，b≥0，c≥0，求证：
a2+ab+b2
+
b2+bc+c2
≥a+b+c．
已知向量
a
=（2sinx，sinx），
b
=（sinx，2
3
cosx），函数f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
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已知二次函数h(x)=ax2+3x+c(c＞3)，其中函数h′(x)的零点为
3
2
，f（x）=lnx-h（x）
（1）若函数f(x)在(
1
2
，m+
1
4
)上为单调函数，求m的范围
（2）若函数y=2x-lnx，x∈[1，4]的图象总在y=f（x）图象上方，求c的取值范围．
复数z=1+i，则
1
z
+
.
z
为
 
．

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