Question

6．如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O为AB的中点．
（1）证明：CO⊥DE；
（2）求二面角C-DE-A的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知中因为BC=AC，O为AB中点，我们易得CO⊥AB，又由等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，可得CO⊥平面ABDE，进而根据线面垂直的性质，即可证明CO⊥DE；
（2）过C作CF⊥DE，垂足为F，连接OF，则∠CFO为二面角C-DE-A的平面角，在△CDE中，可得CE，CD，DE，取CD的中点G，则EG⊥CD，利用等面积可得CF，从而可求二面角C-DE-A的余弦值．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，
∵O为AB中点．所以CO⊥AB，
又因为平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE=AB，CO?平面ABC，
所以CO⊥平面ABDE，
∵DE?平面ABDE，
∴CO⊥DE；
（2）解：过C作CF⊥DE，垂足为F，连接OF，则∠CFO为二面角C-DE-A的平面角，
在△CDE中，CE=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{5}$．
取CD的中点G，则EG⊥CD，∴取CD的中点G，则EG⊥CD，∴EG=$\sqrt{3}$，
利用等面积可得：$\sqrt{5}×CF=2\sqrt{2}×\sqrt{3}$
利用等面积可得：$CF=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$，CO=$\sqrt{3}$，OF=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠CFO=$\frac{OF}{CF}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴二面角C-DE-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．二面角C-DE-A的大小arccos$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质与判定，线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．解答面面角的关键是正确作出面面角．属于中档题．