Question

11．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）求函数f（x）的值域M；
（2）若a∈M，试比较|a-1|+|a+1|，$\frac{3}{2a}$，$\frac{7}{2}-2a$的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函数的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，从而求出函数的值域即可；
（2）根据绝对值的性质，求出a的范围，根据作差法比较即可．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
根据函数f（x）的单调性可知，
当$x=\frac{1}{2}$时，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{2}$．
所以函数f（x）的值域$M=[\frac{3}{2}，+∞）$．
（2）因为a∈M，所以$a≥\frac{3}{2}$，所以$0＜\frac{3}{2a}≤1$．
因为|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3，
所以$|a-1|+|a+1|＞\frac{3}{2a}$，
因为$\frac{3}{2a}-（{\frac{7}{2}-2a}）$=$\frac{{4{a^2}-7a+3}}{2a}$=$\frac{{（{a-1}）（{4a-3}）}}{2a}$，
又由$a≥\frac{3}{2}$，知a-1＞0，4a-3＞0，
所以$\frac{（a-1）（4a-3）}{2a}＞0$，
所以$\frac{3}{2a}＞\frac{7}{2}-2a$，
所以|a-1|+|a+1|＞$\frac{3}{2a}＞\frac{7}{2}-2a$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．