Question

3．关于x的方程$\frac{|2|}{x+2}$=kx²有四个不同的实根，则实数k的取值范围为（1，+∞）．

Answer 1

分析 欲使f（x）=kx²有四个根，当x=0时，是方程的1个根，则只要 $\frac{|x|}{x+2}$=kx²有3个不为0的根，结合函数的图象可求．

解答 解：$\frac{|x|}{x+2}$=kx²（*）有四个根
当x=0时，是方程（*）的1个根
则 $\frac{|x|}{x+2}$=kx²有3个不为0的根
而$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），x＞0}\\{-x（x+2），x＜0}\end{array}\right.$，
结合函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），x＞0}\\{-x（x+2），x＜0}\end{array}\right.$的图象，如图所示：

可知满足条件时有0＜$\frac{1}{k}$＜1，
∴k＞1，
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题主要考查了方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数形结合思想在解题中的应用，属于中档题．