Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁=2，则该三棱柱的外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 根据题意判断直三棱柱ABC-A₁B₁C1的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积

解答 解：∵在直三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥CB₁，AB=BC=2，AA₁=2，
∴AB⊥面BCC₁B₁，
即AB⊥BC
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成正四棱柱，
则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
设D，D₁分别为AC，A₁C₁的中点，则DD₁的中点O为球心，球的半径$R=\sqrt{C{D^2}+O{D^2}}=\sqrt{3}$，故表面积为S=4πR²=12π．
故选：C．

点评 在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R