Question

下列五个命题：
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1

2

，其体积缩小到原来的

1

4

；
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；
③直线x+y+1=0与圆x²+y²=

1

2

相切；
④“10^a≥10^b”是“lga≥lgb”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据圆锥的体积公式，求出变换后圆锥的体积与原体积的关系，可判断①；根据中位数与平均数的关系，可判断②；判断直线与圆的位置关系，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④．

解答： 解：对于①，若一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1

2

，其底面积缩小到原来的

1

4

，由于高不变，其体积缩小到原来的

1

4

，故正确；
对于②，若两组数据的中位数相等，则它们的平均数不一定相等，故错误；
对于③，圆x²+y²=

1

2

的圆心（0，0）到直线x+y+1=0的距离为：

1

2

=

2

2

，等于圆的半径，故直线x+y+1=0与圆x²+y²=

1

2

相切，故正确；
对于④，“10^a≥10^b”?“a≥b”，“lga≥lgb”?“a≥b≥0”，故“10^a≥10^b”是“lga≥lgb”的必要不充分条件，故错误．
其中真命题的序号是：①③，
故答案为：①③．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥的体积，中位数和平均数，直线与圆的位置关系，充要条件，难度不大，属于基础题．