Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,对数的运算性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：要求log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄，需求x₁•x₂•…•x₂₀₁₄的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答： 解：对y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求导，得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点
（1，1）处的切线方程为y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨设y=0，xn=

n

n+1

，
则x₁•x₂•x₃…•x_n=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

=

1

n+1

，
从而log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄
=log₂₀₁₅（x₁•x₂…x₂₀₁₄）
=log2015

1

2015

=-1．
故答案为：-1．

点评：本题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．