Question

已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∠A为锐角且满足cos（2A-

π

3

）-sin（2A-

π

6

）=-

7

25

．
（1）求cosA的值；
（2）若a=

17

，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据余弦和正弦的和差公式，以及倍角公式，求出cosA的值，因为∠A为锐角，问题得以解决，
（2）根据余弦定理求出c的值，再根据三角形性的面积公式，计算即可

解答： 解：（1）∵cos（2A-

π

3

）-sin（2A-

π

6

）=-

7

25

．
∴cos2Acos

π

3

+sin2Asin

π

3

-sin2Acos

π

6

+cos2Asin

π

6

=cos2A=2cos²A-1=-

7

25

．
解得cosA=

3

5

，或cosA=-

3

5

，
∵∠A为锐角，
∴cosA=

3

5

，
（2）∵a=

17

，b=5，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∴17=25+c²-2×5c×

3

5

，
解得c=2，或c=8，
∵cosA=

3

5

，
∴sinA=

4

5

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×5×2×

4

5

=4，
或S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×5×8×

4

5

=16，

点评：本题考查了余弦和正弦的和差公式，以及倍角公式，以及余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题