Question

8．已知函数f（x）=log₃（x²-4x+m）．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）的图象过点（0，1），解不等式：f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）由题意得，x²-4x+m＞0在R上恒成立，等价于△=16-4m＜0，解得m
（2）由f（x）的图象过点（0，1），得m=3，由f（x）≤1，得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-4x+3＞0}\\{{x^2}-4x+3≤3}\end{array}}\right.$，解得0≤x＜1，或3＜x≤4即可

解答 解：（1）由题意得，x²-4x+m＞0在R上恒成立，
等价于△=16-4m＜0，解得m＞4，
所以实数m的取值范围是（4，+∞）…（6分）
（2）由f（x）的图象过点（0，1），得log₃m=1，m=3，
由f（x）≤1，得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-4x+3＞0}\\{{x^2}-4x+3≤3}\end{array}}\right.$，解得0≤x＜1，或3＜x≤4，
所以原不等式的解集为[0，1）∪（3，4]…（12分）．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查了解对数不等式，属于中档题．