Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角B是A，C的等差中项，且不等式-x²+8x-12＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则△ABC的面积等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在△ABC中，角B是A，C的等差中项，可得2B=A+C=π-B，解得B．-x²+8x-12＞0即x²-8x+12＜0，解得2＜x＜6．又不等式-x²+8x-12＞0的解集为{x|a＜x＜c}，可得a，c．利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：在△ABC中，角B是A，C的等差中项，∴2B=A+C=π-B，解得B=$\frac{π}{3}$．
-x²+8x-12＞0即x²-8x+12＜0，解得2＜x＜6．
又不等式-x²+8x-12＞0的解集为{x|a＜x＜c}，
∴a=2，c=6．
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×6×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的性质、不等式的解法、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．