Question

18．已知${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中二项式系数和为32，$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为-40．

Answer 1

分析 由${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中二项式系数和为32求得n=5，再由$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中的各项系数的和为2求得a=1，写出$（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的展开式的通项，分别乘以x，$\frac{1}{x}$，再由x的指数为0求得r值，则展开式中的常数项可求．

解答 解：由${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中二项式系数和为32，得2ⁿ=32，解得n=5．
又$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展开式中的各项系数的和为2，
∴令x=1，得（a+1）•1⁵=2，得a=1．
∴$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）（2x-\frac{1}{x}）^{5}$，
$（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的通项${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（2x）^{5-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=$（-1）^{r}•{2}^{5-r}{•C}_{5}^{r}•{x}^{5-2r}$．
∴$（x+\frac{1}{x}）（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的展开式中的通项有$（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}•{x}^{6-2r}$或$（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}•{x}^{5-3r}$．
由5-3r=0，得r=$\frac{5}{3}$，不合题意；
由6-2r=0，得r=3，则展开式中的常数项为$（-1）^{3}•{2}^{2}{•C}_{5}^{3}=-40$．
故答案为：-40．

点评 本题考查二项式定理的应用，着重考查了二项展开式的通项，是中档题．