Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}5-x，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$的值域为[3，+∞），则实数的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． （1，2）
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出当x≤2时函数的值域为[3，+∞），可得要使函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}5-x，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$的值域为[3，+∞），则当x＞2时，f（x）=2+log_ax≥3恒成立．即log_ax≥1．然后对a分类讨论求解a的范围．

解答 解：当x≤2时，f（x）=5-x≥3，
要使函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}5-x，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$的值域为[3，+∞），
则当x＞2时，f（x）=2+log_ax≥3恒成立．
即log_ax≥1．
若0＜a＜1，则log_ax＜0，log_ax≥1不成立；
若a＞1，则由log_ax≥1=log_aa，得a≤x．
∵x＞2，∴a≤2．
即1＜a≤2．
∴实数的取值范围是（1，2]．
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查分段函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．