Question

16．设数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2（n=1，2，3，…）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式（不需证明）；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，试求使得S_n＜2ⁿ成立的最小正整数n，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，求出a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式．
（2）利用数列的求和，求解S_n，求使得S_n＜2ⁿ成立的最小正整数n，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）a₂=a₁²-2a₁+2=5，a₃=a₂²-2×2a₂+2=7，
a₄=a₃²-2×3a₃+2=9．
猜想a_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）数列{a_n}是等差数列，首项3，公差为：2，
∴S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n（n∈N^*），
使得S_n＜2ⁿ成立的最小正整数n=6．
下证：当n≥6（n∈N^*）时都有2ⁿ＞n²+2n．
①当n=6时，2⁶=64，6²+2×6=48，64＞48，命题成立．
②假设n=k（k≥6，k∈N^*）时，2^k＞k²+2k成立，那么当n=k+1时，
2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），
即n=k+1时，不等式成立；
由①②可得，对于所有的n≥6（n∈N^*）
都有2ⁿ＞n²+2n成立．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．