Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（

3π

4

，0）对称，且在区间[0，

π

2

]上是单调函数，
（1）求φ和ω的值；
（2）已知对任意x∈R函数g（x）满足g（π+x）=g（π-x），且当x∈（0，π）时，g（x）=f（x），试求：g（

3π

2

）．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：计算题,压轴题,数形结合,三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点M（

3π

4

，0）对称可得函数关系f（

3π

4

-x）=-f（

3π

4

+x），可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
（2）由（1）得f（x）=sin（ωx+

π

2

）（ω＞0，0≤φ≤π），又由题意可得函数图象关于x=π对称，即有ω×π+

π

2

=2kπ±

π

2

，k∈Z，结合（1）可得ω=2，从而求出解析式：g（x）=f（x）=sin（2x+

π

2

），即可求g（

3π

2

）的值．

解答： 解：（1）解：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ=

π

2

，
由f（x）的图象关于点M对称，
得f（

3π

4

-x）=-f（

3π

4

+x），
取x=0，得f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，
∴f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，
∴cos

3ωπ

4

=0，
又w＞0，得

3ωπ

4

=

π

2

+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω=

2

3

，f（x）=sin（

2

3

x+

π

2

）在[0，

π

2

]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，在[0，

π

2

]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=

10

3

，f（x）=sin（

10

3

x+

π

2

）在[0，

π

2

]上不是单调函数；
所以，综合得ω=

2

3

或2．
（2）∵由（1）得f（x）=sin（ωx+

π

2

）（ω＞0，0≤φ≤π），
又∵对任意x∈R函数g（x）满足g（π+x）=g（π-x），且当x∈（0，π）时，g（x）=f（x），
∴由题意可得函数图象关于x=π对称，即有ω×π+

π

2

=2kπ±

π

2

，k∈Z，
∴从而解得：ω=2k或2k-1，k∈Z即ω是整数，
∴由（1）可得ω=2，g（x）=f（x）=sin（2x+

π

2

），
∴g（

3π

2

）=sin（2×

3π

2

+

π

2

）=-1．

点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、对称性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，考察了数形结合的能力，综合性强，属于难题．