题目内容

求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3，（n∈N*）．
考点：数列的求和
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：要证（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3，可两边取对数，然后利用数学归纳法证明．
解答： 证明：要证（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3，
只需证ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]＞2n-3，
即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n-3．
可以下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时 左边=ln3＞0，右边=-1，不等式显然成立；
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立；
③假设n=k（ k≥2）时成立，即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1）＞2k-3，
那么n=k+1时，
ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k-3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵当k≥2时 ln（1+（k+1）（k+2））＞2．
∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k-3+2=2k-1=2（k+1）-3，
∴当n=k+1时不等式成立．
综上所述ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n-3成立．
则（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n-3．
点评：本题考查了利用数学归纳法证明数列不等式，利用归纳法证明不等式时可结合分析法、反证法、放缩法等，是中档题．
练习册系列答案
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