Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若线段PF的中点为M，O为坐标原点，M在线段TP上，则|OM|-|MT|的值为（　　）

• A、b-a
• B、a-b
• C、b
• D、不确定

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（|PF|-2a）=

1

2

|PF|-a=|MF|-a，于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=

|OF|2-|OT|2

=b．即可得出关系式．

解答： 解：如图所示，
设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，
由三角形中位线定理得到：|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（|PF|-2a）=

1

2

|PF|-a=|MF|-a，
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|=

|OF|2-|OT|2

=b．
∴|OM|-|MT|=b-a．
故选A．

点评：本题考查了双曲线的定义和性质的运用，结合三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质等知识，考查学生的计算能力和分析能力，是难题．