Question

设二次函数f（x）=ax²-4bx+c（b＞0）若对任意的x∈R恒有f（x）≥0成立，则

f(2)

f(-1)-f(1)

的最小值等于

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式

分析：首先利用二次函数f（x）≥0恒成立，解得：4b²≤ac，进一步确定c＞0，通过对结果的恒等变换转化成

a

2b

+

c

8b

-1，最后利用均值不等式求的结果．

解答： 解：二次函数f（x）=ax²-4bx+c（b＞0）若对任意的x∈R恒有f（x）≥0成立．
则：△=16b²-4ac≤0
即：4b²≤ac
所以：c＞0
则：f（-1）=a+4b+c
f（1）=a-4b+c
f（-1）-f（1）=8b

f(2)

f(-1)-f(1)

=

4a-8b+c

8b

=

a

2b

+

c

8b

-1
利用均值不等式

a

2b

+

c

8b

≥2

ac 16b2

≥1
所以：

a

2b

+

c

8b

-1≥0
即

f(2)

f(-1)-f(1)

的最小值为：0

点评：本题考查的知识要点：二次函数f（x）≥0的条件，均值不等式的应用及相关的运算问题．