Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，CC₁=2AB=2BC=2，D是CC₁中点
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求：平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的余弦的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90，易得AB⊥平面BB₁C₁C，从而可得AB⊥DB₁；由2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点可证B₁D²+BD²=BB₁²，即可证BD⊥B₁D，从而可证；
（2）由（1）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，则∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角，Rt△ABD中求解∠ADB即可．

解答： （1）证明：在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=

1

2

C1C=1
∴B₁D=

2

，同理BD=

2

在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²，∴∠B₁DB=90°
即B₁D⊥BD，
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°
∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B₁D?平面BB₁C₁C，∴B₁D⊥AB，
∵AB∩BD=B，∴B₁D⊥平面ABD；
（2）解：由（1）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D
∴∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=

2

∴cos∠ADB=

2

3

．

点评：本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．