题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+c）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的值；
（2）设
=（sinA，cosA），
=（1，
），当
•
取到最大值时，求角A、角C的值．
（1）求角B的值；
（2）设
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算
专题：解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用平面向量的数量积运算法则表示出
•
，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出
•
的最大值，以及此时A与C的度数即可．
（2）利用平面向量的数量积运算法则表示出
| m |
| n |
| m |
| n |
解答：
解：（1）由（2a+c）cosB+bcosC=0，利用正弦定理化简得：
（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（B+C）=0，
整理得：2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-
，
则B=
；
（2）∵B=
，∴A+C=
，
∵
=（sinA，cosA），
=（1，
），
∴
•
=sinA+
cosA=2sin（A+
），
当A+
=
，即A=
时，
•
取得最大值，
此时A=
，C=
．
（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（B+C）=0，
整理得：2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-
| 1 |
| 2 |
则B=
| 2π |
| 3 |
（2）∵B=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵
| m |
| n |
| 3 |
∴
| m |
| n |
| 3 |
| π |
| 3 |
当A+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| m |
| n |
此时A=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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