Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₁和直线C₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=

4b

bcosθ+4sinθ

（b∈R）．
（1）求圆C₁和直线C₂的直角坐标方程，并求直线C₂被圆C₁所截的弦长；
（2）过原点O作直线C₂的垂线，垂足为点A，求线段OA的中点M的轨迹的参数方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把圆C₁ 和直线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，求得弦心距为d，再利用弦长公式求得弦长．
（2）设线段OA的中点M（x，y），曲线C₂于x轴的交点D，由

OA

⊥

DA

，

OA

•

DA

=0求得点M的轨迹方程，再把它化为参数方程．

解答： 解：（1）圆C₁ 的极坐标方程ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为 （x-2）²+y²=4，
表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．
直线C₂的极坐标方程 ρ=

4b

bcosθ+4sinθ

（b∈R）化为直角坐标方程为 bx+4y-4b=0，
求得弦心距为 d=

|2b+0-4b|

b2+16

=

2|b|

b2+16

，故弦长为2

r2-d2

=

16

b2+16

．
（2）设线段OA的中点M（x，y），
则点A（2x，2y），设曲线C₂于x轴的交点D，则点D（4，0）．
∴

OA

=（2x，2y），

DA

=（2x-4，2y），
∵

OA

⊥

DA

，∴

OA

•

DA

=4x（x-2）+4y²=0．
化简可得 （x-1）²+y²=1，即点M的轨迹的参数方程为

x=1+cosα y=sinα

 （α为参数，0≤α＜2π）．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把直角坐标方程化为参数方程的方法，求动点的轨迹方程，属于基础题．