Question

已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；
（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E作斜率分别为k₁、k₂的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点，且M、N分别是线段AB、CD的中点，若k₁+k₂=1，求证：直线MN过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动圆圆心为O₁（x，y），动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O₁P|=|O₁S|，由此得到

x2+22

=

(x-2)2+y2

，从而能求出动圆圆心的轨迹Q的方程．
（2）由

y=k1(x-m) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1m=0，由已知条件推导出M（

2

k12

+m，

2

k1

），N（

2

k22

+m，

2

k2

），由此能证明直线MN恒过定点（m，2）．

解答： （1）解：设动圆圆心为O₁（x，y），
动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O₁P|=|O₁S|，
当O₁不在y轴上时，过O₁作O₁H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点，
∴|O₁S|=

x2+22

，
又|O₁P|=

(x-2)2+y2

，
∴

x2+22

=

(x-2)2+y2

，
化简得y²=4x（x≠0）．
又当O₁在y轴上时，O₁与O重合，
点O₁的坐标为（0，0）也满足方程y²=4x，
∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y²=4x．
（2）证明：由

y=k1(x-m) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1m=0，
y1+y2=

4

k1

，y₁y₂=-4m，
AB中点M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），∴M（

2

k12

+m，

2

k1

），
同理，点N（

2

k22

+m，

2

k2

），
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k1k2

k1+k2

=k1k2，
∴MN：y-

2

k1

=k1k2[x-(

2

k12

+m)]，
即y=k₁k₂（x-m）+2，
∴直线MN恒过定点（m，2）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．