Question

已知映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：A中的元素（x，y）对应到B中的元素（3x+y-1，x-2y+1）．
（1）是否存在这样的元素（a，b），使它的象仍是自已？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
（2）判断这个映射是不是一一映射？

Answer 1

考点：映射

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设存在这样的元素（a，b），使它的象仍是自已，则3a+b-1=a且a-2b+1=b，解得元素的坐标；
（2）若这个映射是一一映射，则B中任意元素在A中有唯一对应的原象，利用方程法求出中任一元素（m，n）在A中的原象，并判断其是否唯一，可得答案．

解答： 解：（1）假设存在这样的元素（a，b），使它的象仍是自已，
则3a+b-1=a且a-2b+1=b，
解得：a=0，b=1，
即存在这样的元素（0，1），使它的象仍是自已，
（2）若这个映射是一一映射，
则B中任意元素在A中有唯一对应的原象，
取B中任一元素（m，n），设其在A中对应的原象为（x，y），
则3x+y-1=m，且x-2y+1=n，
解得：x=

2m+n+1

2

，y=-

4m+3n+1

2

，
即B中任意元素在A中有唯一对应的原象，
故这个映射是一一映射．

点评：本题考查的知识点是映射，熟练掌握映射的概念及一一映射的概念是解答的关键．