Question

已知在数列{a_n}中，a₁=a，a₂=b，前n项的和S_n满足等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0（n≥1），其中a，b，r均为非零整数．
（1）求{a_n}为常数列的充要条件；
（2）求{a_n}为等比数列的充要条件．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：（1）若{a_n}为常数列，则S_n=na₁=na，结合等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可得：r=1，a=b，反之当r=1，a=b时，可得{a_n}为常数列，进而得到{a_n}为常数列的充要条件；
（2）若{a_n}为公比为1的等比的数列，则{a_n}为常数列，由（1）得r=1，a=b，若{a_n}为公比不为1的等比的数列，可得

b

a

=r，反之当

b

a

=r时，可得{a_n}为等比数列，进而得到{a_n}为等比数列的充要条件．

解答： 解：（1）若{a_n}为常数列，则S_n=na₁=na，
则等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可化为：a（1-r）=0，
∵a，b，r均为非零整数．
故r=1，a=b，
若r=1，则S_n+2-2S_n+1+S_n=0，
即a_n+2-a_n+1=0，（n≥1），
若a=b，则a_n=a恒成立，故{a_n}为常数列，
综上所述，{a_n}为常数列的充要条件为：a=b，且r=1；
（2）若{a_n}为公比为1的等比的数列，则{a_n}为常数列，由（1）得r=1，a=b，
若{a_n}为公比不为1的等比的数列，
则等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可化为：

an+2

an+1

=r，（n≥1），
当

b

a

=r时，{a_n}为公比为r等比数列，
即{a_n}为等比数列时，

b

a

=r，
若

b

a

=r时，由S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可得：

an+2

an+1

=r，（n≥1），
此时

an+1

an

=r恒成立，故{a_n}为等比数列．
综上所述，{a_n}为等比数列的充要条件为

b

a

=r．

点评：本题以充要条件为载体考查了等比数列的定义，判断方法，综合性强，转化困难，属于难题．