Question

已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（　　）

• A、（-∞，-

  e2+1

  e

  ）
• B、（-∞，-2）
• C、（-

  e2+1

  e

  ，-2）
• D、（

  e2+1

  e

  ，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=|xe^x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值

1

e

，所以，要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，

1

e

）内，一个在（

1

e

，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．

解答： 解：f（x）=|xe^x|=

xex(x≥0) -xex(x＜0)

，
当x≥0时，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e^-1=

1

e

，
要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m²+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，

1

e

）内，一个根在（

1

e

，+∞）内，
再令g（m）=m²+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（

1

e

）＜0，即（

1

e

）²+

1

e

t+1＜0，
解得：t＜-

e2+1

e

．
所以，使得函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，-

e2+1

e

）．
故选A．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．