Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，AA₁=2，AB=2

2

，M为AA₁的中点．
（1）若点N是线段AC上异于A、C的一动点，求异面直线BC与A₁N所成角的大小；
（2）若二面角C-BM-A的大小为60°，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求AB₁与面BCM所成角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角与二面角的关系即可得出；
（3）由（2）可得

AB1

=(

6

，-

2

，2)，平面BCM的法向量为

m

=（0，-1，

2

）．设AB₁与面BCM所成角为θ．利用sinθ=|cos＜

AB1

，

m

＞|=

| AB1 • m |

| AB1 || m |

即可得出．

解答： 解：（1）如图所示，
∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC．
又∵BC⊥AC，AC∩AA₁=A．
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁N．
∴异面直线BC与A₁N所成角为90°．
（2）设B（a，0，0），则A(0，

8-a2

，0)，M(0，

8-a2

，1)．
∴

BM

=(-a，

8-a2

，1)，

CB

=（a，0，0），

AM

=（0，0，1）．
设平面BCM的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • BM =-ax+ 8-a2 y+z=0 m • CB =ax=0

，令z=

8-a2

，解得x=0，y=-1．
∴

m

=(0，-1，

8-a2

)．
同理可得平面ABM的法向量

n

=(

8-a2

，a，0)．
∵二面角C-BM-A的大小为60°，
∴cos60°=

| m • n |

| m || n |

=

a

9-a2 8

=

1

2

，解得a=

6

．
∴|BC|=

6

．
（3）由（2）可得

AB1

=(

6

，-

2

，2)，
平面BCM的法向量为

m

=（0，-1，

2

）．
设AB₁与面BCM所成角为θ．
∴sinθ=|cos＜

AB1

，

m

＞|=

| AB1 • m |

| AB1 || m |

=

3 2

12 × 3

=

2

2

．
∴AB₁与面BCM所成角的正弦值为

2

2

．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角求二面角、线面垂直的判定与性质定理、线面角的求法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．