Question

已知函数f（x）=b•a^x（a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）
（1）试求a，b的值；
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=b•a^x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），知

a•b=8 a3•b=32

，由此能求出f（x）．
（2）设g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
则y=g（x）在R上是减函数，故当x≤1时，g（x）_min=g（1）=

3

4

．由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=b•a^x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），
∴

a•b=8 a3•b=32

，
解得a=2，b=4，
∴f（x）=4•（2）^x=2^x+2，
（2）设g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
y=g（x）在R上是减函数，
∴当x≤1时，g（x）_min=g（1）=

3

4

．
若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，
即m≤

3

4

点评：本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．