Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的x，y∈[-1，1]，x+y≠0，均有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）解不等式f（x+

1

2

）＜f（1-2x）；
（3）若对于区间[-1，1]上任意的x₁，x₂均有|f（x₂）-f（x₁）|≤m²-m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用单调性的定义判断并证明；
（2）利用单调性求解不等式；
（3）恒成立问题化为最值问题．

解答： 解：（1）f（x）在[-1，1]上是增函数，证明如下：
∵x+y≠0，不妨设x＞-y，
∴（x+y）[f（x）+f（y）]＞0可化为
（x-（-y））[f（x）-（-f（y））]＞0，
又∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴-f（y）=f（-y），
∴（x-（-y））[f（x）-f（-y）]＞0，
∴f（x）-f（-y）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由（1）可知，f（x+

1

2

）＜f（1-2x）可化为
-1≤x+

1

2

＜1-2x≤1，
解得，0≤x＜

1

6

；
（3）∵f（1）=1，∴f（-1）=-1，
∴对于区间[-1，1]上任意的x₁，x₂，
|f（x₂）-f（x₁）|≤1+1=2，
则对于区间[-1，1]上任意的x₁，x₂均有|f（x₂）-f（x₁）|≤m²-m成立可化为2≤m²-m，
解得，m≥2或m≤-1．

点评：本题考查了函数的基本性质及恒成立问题的处理，属于难题．