Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0）且导数f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＜2-

1

2

ax²对一切正数x都成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），先求导，再求f′（1）=1-a+b=0，由此得到b=a-1．再根据导数和函数的单调性之间的关系，由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）f（x）＜2-

1

2

ax²对一切正数x都成立，分离变量a后得到a＜

2-lnx

x

+1，利用导数求函数的最小值，则a的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=

1

x

-ax+b，f′（1）=1-a+b=0，
得：b=a-1．
将b=a-1代入得f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

．
当f′（x）＞0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0．
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
∵a＞0，
∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增，
当f′（x）＜0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＞0，∴x＞1，
即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）∵f（x）＜2-

1

2

ax²对一切正数x都成立，
∴lnx-

1

2

ax²+（a-1）x＜2-

1

2

ax²对一切正数x都成立，
∴ax＜2+x-lnx对一切正数x都成立，
即a＜

2-lnx

x

+1对一切正数x都成立，
设g（x）=

2-lnx

x

，
∴g′（x）=

lnx-3

x2

，
令g′（x）=0，解得x=e³，
当g′（x）＞0时，即x＞e³，函数g（x）递增，
当g′（x）＜0时，即0＜x＜e³，函数g（x）递减，
故当x=e³，函数有极小值，即为最小值，g（e³）=

2-lne3

e3

=-e^-3，
∴a＜1-e^-3，
故a的取值范围为（-∞，1-e^-3）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分离变量法，训练了利用函数单调性比较不等式的大小是有一定难度题目