Question

已知函数f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 2 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，则函数F（x）=xf（x）-1的零点个数为（　　）

• A、7
• B、6
• C、5
• D、4

Answer 1

考点：函数的零点,分段函数的应用

专题：作图题,函数的性质及应用

分析：根据解析式函数f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 2 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，列出一部分解析式，画出f（x）与y=

1

x

图象，f（x）=

1

x

，解的个数，即可得出零点的个数．

解答： 解：1-|x-1|=

2-x，1≤x＜2 x，x＜1

当3≤x＜4，

1

2

f（x-2）=2-

x

2

，
当2≤x＜3时，

1

2

f（x-2）=

1

2

（x-2）=

1

2

x-1
当4≤x＜5时，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[

1

2

（x-2）-1]=

1

2

×[

1

2

x-2]=

1

4

x-1，
当5≤x＜6时，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[2-

x-2

2

]=

1

2

×[3-

x

2

]=

3

2

-

x

4

当6≤x＜7时，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[

x-2

4

-1]=

x

8

-

3

4

，
当7≤x＜8时，

1

2

f（x-2）=

1

2

×[

3

2

-

x-2

4

]=1-

x

8

，
f（x）=

1

2

f（x-2），向右平移2个单位，纵坐标缩短为

1

2

倍，
∵函数F（x）=xf（x）-1的零点，
∴f（x）=

1

x

，解的个数，
y=f（x），y=x交点个数
x=7时，f（7）=

1

8

，y=

1

7

，

1

8

＜

1

7

从图象可知有6个交点，
所以函数F（x）=xf（x）-1的零点个数为6个，
故选：B

点评：本题考察了函数的图象，与函数的零点的关系，属于中档题．