Question

在△ABC中，在AC上取点N，使AC=3AN，在AB上取点M，使AB=3AM，在BN的延长线上取点P，使BN=2NP，在CM的延长线上取点Q，使CM=2MQ，如图所示，记向量

AB

=

a

，向量

AC

=

b

．
（1）用向量

a

、

b

表示向量

AP

；
（2）用向量知识证明：A、P、Q三点共线，且AP=AQ．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由题意，连结MN作图，由相似比可出求λ的值．

解答： 解：（1）由AC=3AN，AB=3AM，BN=2NP，得到MN∥BC∥AP，向量

AP

=

AN

+

NP

=

1

3

AC

+

1

3

BP

=

1

3

AC

+

1

3

AP

-

1

3

AB

，所以

2

3

AP

=

1

3

b

-

1

3

a

，所以

AP

=

1

2

b

-

1

2

a

；
（2）在CM的延长线上取点Q，使CM=2MQ，又AC=3AN，所以MN∥AQ，所以

AQ

=

AM

+

MQ

=

1

3

AB

+

1

3

CQ

=

1

3

AB

+

1

3

AQ

-

1

3

AC

，所以

2

3

AQ

=

1

3

a

-

1

3

b

，
所以

AQ

=

1

2

a

-

1

2

b

，
所以

AQ

=-

AP

，
所以A、P、Q三点共线，且AP=AQ．

点评：本题考查了平面向量的应用及平面几何中相似比的应用，属于中档题．