题目内容
设关于x的方程cos2x+
sin2x=k+1在[0，
]内有两不同根m、n，求m+n的值及k的取值范围．
| 3 |
| π |
| 2 |
考点：两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的图像与性质
分析：构造函数f（x）=cos2x+
sin2x，x∈[0，
]与g（x）=k+1，则问题转化为f（x）=2sin（2x+
）的图象与函数g（x）=k+1的图象有两个交点，利用正弦函数的单调性与最值，即可求得m+n的值及k的取值范围．
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
解答：
解：令f（x）=cos2x+
sin2x=2（
cosx+
sin2x）=2sin（2x+
），g（x）=k+1，
∵x∈[0，
]，
∴2x+
∈[
，
]，
要使关于x的方程cos2x+
sin2x=k+1在[0，
]内有两不同根m、n，就是函数f（x）=2sin（2x+
）的图象与函数g（x）=k+1的图象有两个交点，
当
≤2x+
≤
且2x+
≠
，即0≤x＜
或
＜x≤
，1≤2sin（2x+
）＜2时，两曲线有两个交点，
又两个交点的横坐标分别为m、n，这两个交点关于f（x）=2sin（2x+
）的对称轴x=
对称，
∴m+n=
．
由1≤2sin（2x+
）＜2，知1≤k+1＜2，
解得：0≤k＜1．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
要使关于x的方程cos2x+
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
当
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
又两个交点的横坐标分别为m、n，这两个交点关于f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴m+n=
| π |
| 3 |
由1≤2sin（2x+
| π |
| 6 |
解得：0≤k＜1．
点评：本题考查两角和和与差的正弦，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数在闭区间上的单调性与最值，考查转化思想．
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下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
| A、y=ln（x+3） | ||
B、y=-
| ||
C、y=(
| ||
D、y=
|
在△ABC中，在AC上取点N，使AC=3AN，在AB上取点M，使AB=3AM，在BN的延长线上取点P，使BN=2NP，在CM的延长线上取点Q，使CM=2MQ，如图所示，记向量