Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，点P为该双曲线在第一像限的点，△PF₁F₂的面积为1，且tan∠PF₁F₂=0.5，tan∠PF₂F₁=-2，则该双曲线的方程为（　　）

• A、

  12x2

  5

  -3y²=1
• B、

  4x2

  15

  -

  y2

  3

  =1
• C、3x²-

  12y2

  5

  =1
• D、

  x2

  3

  -

  5y2

  12

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用同角公式，求出sin^_∠F₁PF₂=

3

5

，cos∠F₁PF₂=-

4

5

，sin∠PF₁F₂=

5

5

，sin∠PF₂F₁=

2 5

5

，再由面积公式，可得PF₁•PF₂=

10

3

，再由余弦定理，可得b²=3，即c²-a²=3，①再由正弦定理，可得e=

c

a

=

3

5

，②求得a²=

15

4

，进而得到双曲线的方程．

解答： 解：在△PF₁F₂中，tan∠F₁PF₂=-tan（∠PF₁F₂+∠PF₂F₁）
=-

1 2 +(-2)

1- 1 2 ×(-2)

=-

3

4

．由

sin∠F1PF2

cos∠F1PF2

=-

3

4

．及sin^2_∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，
可得，sin^_∠F₁PF₂=

3

5

，cos∠F₁PF₂=-

4

5

，
由于△PF₁F₂的面积为1，则

1

2

PF₁•PF₂•sin^_∠F₁PF₂=1，即有PF₁•PF₂=

10

3

，
cos∠F₁PF₂=

PF12+PF22-F1F22

2PF1•PF2

=

(PF1-PF2)2-4c2

2PF1•PF2

+1=

2(a2-c2)

PF1•PF2

+1=-

4

5

，
即有b²=3，即c²-a²=3，①
由于tan∠PF₁F₂=0.5，tan∠PF₂F₁=-2，可得，sin∠PF₁F₂=

5

5

，sin∠PF₂F₁=

2 5

5

，
由正弦定理，可得，

PF1

sin∠PF2F1

=

PF2

sin∠PF1F2

=

F1F2

sin∠F1PF2

，
即有

PF1-PF2

5 5

=

2a

5 5

=

2c

3 5

，即有e=

c

a

=

3

5

，②
①②解得，a²=

15

4

，
则该双曲线的方程为

4x2

15

-

y2

3

=1．
故选B．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．