Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：
①函数g（x）=-2是函数f（x）=

lnx，x＞0 1，x≤0

的一个承托函数；
②函数g（x）=x-1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；
③若函数g（x）=ax是函数f（x）=e^x的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；
④值域是R的函数f（x）不存在承托函数；
其中，所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①，由f（x）=

lnx，x＞0 1，x≤0

知，x＞0时，f（x）=lnx∈（-∞，+∞），不满足f（x）≥g（x）=-2对一切实数x都成立，可判断①；
②，令t（x）=f（x）-g（x），易证t（x）=x+sinx-（x-1）=sinx+1≥0恒成立，可判断②；
③，令h（x）=e^x-ax，通过对a=0，a≠0的讨论，利用h′（x）=e^x-a，易求x=lna时，函数取得最小值a-alna，依题意即可求得a的取值范围，可判断③；
④，举例说明，f（x）=2x，g（x）=2x-1，则f（x）-g（x）=1≥0恒成立，可判断④．

解答： 解：①，∵x＞0时，f（x）=lnx∈（-∞，+∞），
∴不能使得f（x）≥g（x）=-2对一切实数x都成立，故①错误；
②，令t（x）=f（x）-g（x），则t（x）=x+sinx-（x-1）=sinx+1≥0恒成立，故函数g（x）=x-1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数，②正确；
③，令h（x）=e^x-ax，则h′（x）=e^x-a，
由题意，a=0时，结论成立；
a≠0时，令h′（x）=e^x-a=0，则x=lna，
∴函数h（x）在（-∞，lna）上为减函数，在（lna，+∞）上为增函数，
∴x=lna时，函数取得最小值a-alna；
∵g（x）=ax是函数f（x）=e^x的一个承托函数，
∴a-alna≥0，
∴lna≤1，
∴0＜a≤e，
综上，0≤a≤e，故③正确；
④，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x-1，则f（x）-g（x）=1≥0恒成立，故g（x）=2x-1是f（x）=2x的一个承托函数，④错误；
综上所述，所有正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查函数恒成立问题，理解新定义“承托函数”的概念是解题的关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力与运算能力，属于难题．