Question

已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，
（1）求圆C的方程；
（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）结合条件即可求圆C的方程；
（2）求出点B关于直线l：x+y+2=0的对称点，根据对称性的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，
即点A（4，0），B（0，2）是圆的一条直径，
则圆心坐标为（2，1）．半径r=

5

，
则圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）点B关于直线l：x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上的点的最短距离为|B′C|-r，
∴|PB|+|PQ|的最小值为2

5

，
直线B′C的方程为y=

1

2

x，
则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标满足

y= 1 2 x x+y+2=0

，
解得

x=- 4 3 y=- 2 3

，即P（-

4

3

，-

2

3

）．

点评：本题主要考查直线和圆的方程的求解和应用，根据直线的对称性是解决本题的关键．