Question

设a∈R，（ax-1）⁸的二项展开式中含x³项的系数为7，则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,极限及其运算

专题：计算题,二项式定理

分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x³的系数，再根据x³项的系数为7，求得实数a的值，进而可求极限．

解答： 解：由于（ax-1）⁸展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 8

•a^8-r•x^8-r•（-1）^r，
令8-r=3，解得r=5，故（ax-1）⁸展开式中x³的系数为-

C

5 8

•a³=7，
解得a=-

1

2

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

- 1 2

1+ 1 2

=-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．