题目内容

设a，b，c均为正数，且a+2b+3c=2，则
1
a
+
2
b
+
3
c
的最小值为
 
．
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：本题考虑到一个数与它的倒数的积为定值1，可以选择用柯西不等式去研究．
解答： 解：由柯西不等式知：(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，
当且仅当
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
时取等号．
∴(a+2b+3c)(
1
a
+
2
b
+
3
c
)≥(
a•
1
a
+
2b•
2
b
+
3c•
3
c
)2=36．
∵a+2b+3c=2，
∴
1
a
+
2
b
+
3
b
≥18．
当且仅当a=b=c=
1
3
时取等号．
故答案为：18．
点评：本题考查的是柯西不等式，注意不等式使用的条件和取等号的条件．
练习册系列答案
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a1=2
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lim
n→∞
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．
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．
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1
2
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．
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．
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．
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