Question

函数f（x）在定义域内可导，若满足对任意x∈A（其中A为定义域的子集），都有f（x）＞0，f′（x）＞0，则称区间A为f（x）的一个“保号”区间（或称f（x）在区间A内具备“保号”性质）．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）内具备“保号”性质，当a＞0时，讨论函数F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）内的单调性；
（2）求函数f（x）=e^x-ln（x+1）+2的最大“保号”区间；
（3）当函数f（x）在（0，+∞）内不具备“保号”性质，且f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，在（0，1）内讨论xf（x）与

1

x

f（

1

x

）的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出F（x）=e^axf（x）的导数，根据“保号”性质可确定，F′（x）=ae^axf（x）+e^axf′（x）＞0，从而可判断F（x）的单调性；
（2）求出f′（x），然后根据“保号”的定义，分情况验证即可；
（3）由（1）的结论：F（x）=e^xf（x）在（0，+∞）内是减函数，当o＜x＜1时，

1

x

＞x，可得：f(x)＞e

1

x

-xf(

1

x

)，设h(x)=

1

x

-x+2lnx(0＜x＜1)，则h（x）在（0，1）递减，从而f（x）＞e

1

x

-xf(

1

x

)＞

1

x2

f(

1

x

)，即f(x)＞

1

x2

f(

1

x

)．

解答： 解：（1）∵函数f（x）在（0，+∞）内具备“保号”性质，
∴在（0，+∞）有f（x）＞0，f′（x）＞0，
又a＞0，
∴F′（x）=ae^axf（x）+e^axf′（x）＞0，
∴F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）内是增函数．
（2）f（x）定义域为（-1，+∞），
f′(x)=ex-

1

x+1

=

ex(x+1)-1

x+1

．
显见，当x＞0时，f′（x）＞0；
当x=0时，f′（x）=0；
当-1＜x＜0时，f′(x)=ex-

1

x+1

为增函数，f′（x）＜0．
又f（0）=3，由上f（x）在（0，+∞）内是增函数，
故在（0，+∞）有f（x）＞0
综上，所求f（x）最大“保号”区间为（0，+∞）．
（3）结论：xf（x）＞

1

x

f(

1

x

)．证明如下：
当o＜x＜1时，

1

x

＞x，
由（1）的结论：F（x）=e^xf（x）在（0，+∞）内是减函数
∴exf(x)＞e

1

x

f(

1

x

)．
即：f(x)＞e

1

x

-xf(

1

x

)，
设h(x)=

1

x

-x+2lnx(0＜x＜1)，
则h′(x)=-

1

x2

-1+

2

x

=-

(x-1)2

x2

＜0，
∴h（x）在（0，1）递减，
故h（x）＞h（1）=0，即

1

x

-x＞-2lnx．
则e

1

x

-x＞

1

x2

，
∴f（x）＞e

1

x

-xf(

1

x

)＞

1

x2

f(

1

x

)
即f(x)＞

1

x2

f(

1

x

)，
∴xf（x）＞

1

x

f(

1

x

)．

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用，以及新概念题的处理能力，属于难题．