已知数列{an}中.a1=1.an+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a} {n}+n.n为奇数}\\{{a} {n}-3n.n为偶数}\end{array}\right.$(1)求a2.a3.a4的值,(2)求证:数列{a2n-$\frac{3}{2}$}是等比数列,(3)求数列{an}的前n项和Sn.并求满足Sn＞0的所有正整数n的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n为奇数}\\{{a}_{n}-3n，n为偶数}\end{array}\right.$
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{a_2n-$\frac{3}{2}$}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n，并求满足S_n＞0的所有正整数n的值．

分析（1）直接由数列递推式求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）设${b}_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}$，由$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$结合数列递推式证得数列{${a}_{2n}-\frac{3}{2}$}是以${a}_{2}-\frac{3}{2}$，即$-\frac{1}{6}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（3）由（2）求出a_2n，并进一步得到a_2n-1，从而得到a_2n-1+a_2n，求得S_2n，再由S_2n-1=S_2n-a_2n求得S_2n-1，得到满足S_n＞0的所有正整数n的值．

解答（1）解：由a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n为奇数}\\{{a}_{n}-3n，n为偶数}\end{array}\right.$，
得${a}_{2}=\frac{1}{3}{a}_{1}+1=\frac{4}{3}$，${a}_{3}={a}_{2}-6=\frac{4}{3}-6=-\frac{14}{3}$，${a}_{4}=\frac{1}{3}{a}_{3}+3=\frac{13}{9}$；
（2）证明：设${b}_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}$，
∵$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{a}_{2n+2}-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n+1}+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}（{a}_{2n}-6n）+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n}-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，
∴数列{${a}_{2n}-\frac{3}{2}$}是以${a}_{2}-\frac{3}{2}$，即$-\frac{1}{6}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（3）解：由（2）得${a}_{2n}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n}$，
即${a}_{2n}=-\frac{1}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}+\frac{3}{2}$，
由${a}_{2n}=\frac{1}{3}{a}_{2n-1}+（2n-1）$，得${a}_{2n-1}=3{a}_{2n}-3（2n-1）=-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n-1}-6n+\frac{15}{2}$，
∴${a}_{2n-1}+{a}_{2n}=-\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}）^{n-1}+（\frac{1}{3}）^{n}]-6n+9$$-2（\frac{1}{3}）^{n}-6n+9$，
∴S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=$-2[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}]-6（1+2+…+n）+9n$
=$-2•\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}-6•\frac{n（n+1）}{2}+9n$
=$（\frac{1}{3}）^{n}-1-3{n}^{2}+6n=（\frac{1}{3}）^{n}-3（n-1）^{2}+2$．
显然当n∈N^*时，{S_2n}单调递减，
又当n=1时，${S}_{2}=\frac{7}{3}$＞0，当n=2时，${S}_{4}=-\frac{8}{9}$＜0，
∴当n≥2时，S_2n＜0；
${S}_{2n-1}={S}_{2n}-{a}_{2n}=\frac{3}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}-\frac{5}{2}-3{n}^{2}+6n$，
同理，当且仅当n=1时，S_2n-1＞0，
综上，满足S_n＞0的所有正整数n为1和2．

资金	单位产品所需资金		资金供应量
资金	空调机	洗衣机	资金供应量
成本	30	20	440
劳动力：工资	7	10	156
单位利润	10	8

试题分类