Question

6．已知函数f（x）=x²-1，函数g（x）=2tlnx，t≤1．
（1）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；
（2）讨论函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）令f′（1）=g′（1）解出t，利用点斜式方程得出切线方程；
（2）判断h（x）的单调性，对极值点$\sqrt{t}$与1的大小进行讨论得出零点的个数．

解答 解：（1）∵f′（x）=2x，$g'（x）=\frac{2t}{x}$，（x＞0）．
∴切线l的斜率k=f′（1）=g′（1）．即k=2t=2，解得t=1．
又∵切点坐标为（1，0）．所以切线l的方程为2x-y-2=0；   
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2tlnx，（x＞0）．
则$h'（x）=2x-\frac{2t}{x}=\frac{{2{x^2}-2t}}{x}$．
①当t≤0时，h′（x）＞0．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
又因为h（1）=0，所以y=h（x）有且仅有一个零点． 
②当0＜t≤1时，令h′（x）=0，解得$x=\sqrt{t}$．
当x变化时，${h^'}_{^{\;}}（x）$与h（x）的变化情况如下表所示：

x	（0，$\sqrt{t}$）	$\sqrt{t}$	（$\sqrt{t}$，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值	↗

∴h（x）在$（0，\sqrt{t}）$上单调递减，在$（\sqrt{t}，+∞）$上单调递增，
∴当$x=\sqrt{t}$时，$h{（x）_{min}}═h（\sqrt{t}）$．
∵h（1）=0，
当t=1时，f（x）只有一个零点1．
当0＜t＜1时，$\sqrt{t}＜1$，∴h（$\sqrt{t}$）＜h（1）=0．
∵0＜e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$＜1，h（e${\;}^{-\frac{1}{2t}}$）=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$-1-2tlne${\;}^{-\frac{1}{2t}}$=e${\;}^{-\frac{1}{t}}$＞0，
∴存在x₀∈（0，1）使得h（x₀）=0．
∴函数y=h（x）存在两个零点x₀，1．
综上，当t=1或t≤0时，h（x）=f（x）-g（x）有一个零点，
当0＜t＜1时，h（x）=f（x）-g（x）有两个零点．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性，极值的关系，分类讨论思想，属于中档题．