Question

8．设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1-t），且$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$时，f（x）=-x²，则$f（{\frac{3}{2}}）$的值等于（　　）

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $-\frac{9}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据已知可得函数y=f（x）是周期为2的周期函数，结合$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$时，f（x）=-x²，可得答案．

解答 解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（t）=f（1-t），
∴f（x+2）=f[1-（x+2）]=f（-x-1）=-f（x+1）=-f[1-（x+1）]=-f（-x）=f（x），
即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，
故f（$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），
又∵$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$时，f（x）=-x²，
∴f（$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性，函数求值，根据已知分析出函数y=f（x）是周期为2的周期函数，是解答的关键．