题目内容
已知椭圆
+
=1的离心率e=
，A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0）．
（1）设AB的中点为C（x0，y0），求x0的值；
（2）若F是椭圆的右焦点，且AF+BF=3，求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
（1）设AB的中点为C（x0，y0），求x0的值；
（2）若F是椭圆的右焦点，且AF+BF=3，求椭圆的方程．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）首先，根据点P和点C的坐标，写出它们的斜率，再根据离心率关系，化简椭圆的方程，利用点差法求x0的值；
（2）直接根据椭圆的焦半径公式进行求解，确定a=3，然后，结合离心率关系，得到其方程．
（2）直接根据椭圆的焦半径公式进行求解，确定a=3，然后，结合离心率关系，得到其方程．
解答：
解：（1）线段AB的垂直平分线的斜率Kcp=
，
∴直线AB的斜率Kab=
，
∵e=
，
∴c2=
，
∴b2=a2-c2=
，把它代入椭圆
+
=1，
得5x2+9b2-5a2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则5x12+9y12-5a2=0，①
5x22+9y22-5a2=0，②
①-②得5（x1+x2）（x1-x2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0，
∵x1+x2=2m，y1+y2=2n，（y1-y2）/（x1-x2）=Kab，
∴5m+9n×=
=0，
∴m=
．
（2）椭圆的焦半径|AF|=a-ex1，|BF|=a-ex2，
∵|AF|+|BF|=3，
∴2a-
（x1+x2）=3，
∴2a=6，a=3，
∴椭圆的方程为
+
=1．
| n-0 |
| m-1 |
∴直线AB的斜率Kab=
| 1-m |
| n |
∵e=
| 2 |
| 3 |
∴c2=
| 4a2 |
| 9 |
∴b2=a2-c2=
| 5a2 |
| 9 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
得5x2+9b2-5a2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则5x12+9y12-5a2=0，①
5x22+9y22-5a2=0，②
①-②得5（x1+x2）（x1-x2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0，
∵x1+x2=2m，y1+y2=2n，（y1-y2）/（x1-x2）=Kab，
∴5m+9n×=
| 1-m |
| n |
∴m=
| 9 |
| 4 |
（2）椭圆的焦半径|AF|=a-ex1，|BF|=a-ex2，
∵|AF|+|BF|=3，
∴2a-
| 2 |
| 3 |
∴2a=6，a=3，
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
点评：本题重点考查了椭圆的方程、椭圆的图形和几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．
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函数f（x）=
1n(
)+
的定义域为（ ）
| 1 |
| x |
| x2-3x+2 |
| -x2-3x+4 |
| A、（-4，0）∪（0，1） |
| B、[-4，0）∪（0，1） |
| C、（-4，1） |
| D、[-4，1） |