Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形面积为

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率公式和三角形的面积公式及a，b，c的关系式，即可得到方程，解出即可得到椭圆方程；
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出直线AE的方程，令y=0，化简即可得到结论

解答： （1）解：由题意得：

c a = 1 2 bc= 3 a2=b2+c2

，解之得：

a=2 b= 3 c=1

，
则椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意知直线PB的斜率存在，
设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得，
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁），
∴x₁+x₂=

32k2

4k2+3

，x₁x₂=

64k2-12

4k2+3

，
又直线AE的方程为y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂），
令y=0，则x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

=

2x1x2-8(x1+x2)

x1+x2-8

=1，
故直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．