Question

已知椭圆

x2

4

+y²=1，若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=2x+m对称，则实数m的取值范围是（　　）

• A、(-

  3 3

  2

  ，

  3 2

  2

  )
• B、（-

  3 2

  2

  ，

  3 2

  2

  ）
• C、（-

  2

  2

  ，

  3 2

  2

  ）
• D、（-

  3 2

  2

  ，

  2

  2

  ）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．根据此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=2x+m对称，
可设直线AB的方程可设为y=-

1

2

x+t．与椭圆方程联立可得△＞0，及其根与系数的关系，利用中点坐标公式可得
M(t，

1

2

t)．代入直线y=2x+m，解得t=-

2m

3

．代入△＞0即可解出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
∵此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=2x+m对称，
∴直线AB的方程可设为y=-

1

2

x+t．
联立

y=- 1 2 x+t x2+4y2=4

，化为x²-2tx+2t²-2=0．
△=4t²-4（2t²-2）＞0，解得t²＜2（*）．
∴x₁+x₂=2t，
∴x₀=t，y₀=-

1

2

t+t=

1

2

t．
∴M(t，

1

2

t)．
代入直线y=2x+m可得：

1

2

t=2t+m，解得t=-

2m

3

．
代入（*）可得：(-

2m

3

)2＜2，解得-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．
∴m的取值范围是-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．
故选：B．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、△＞0、轴对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．