Question

在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第一周价格），并且每周价格上涨，如图所示，从第6周开始到第11轴保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售．
（1）求销售价y（元/件）与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125（x-8）²+12．（1≤x≤16，且x为整数），试问该服装第几周出售时每件销售利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题

分析：（1）根据函数图象求出函数解析式即可；
（2）由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则w与x之间的函数关系式亦为分段函数，分情况解答．

解答： 解：（1）依题意得，可建立的函数关系式为：
∴y=

20+2(x-1)(1≤x＜6) 30 ; ;(6≤x≤11) 30-2(x-11)(12≤x≤16)

；
即y=

2x+18 ;(1≤x＜6) 30 ;(6≤x≤11) -2x+52 ;(12≤x≤16)

；
（2）设利润为W，则W=售价-进价
故W=

20+2x+ 1 8 (x-8)2-14(1≤x＜6) 30+ 1 8 (x-8)2-12(6≤x≤11) 1 8 (x-8)2-2x+40(12≤x≤16)

，
化简得W=

1 8 x2+14(1≤x＜6) 1 8 x2-2x+26(6≤x≤11) 1 8 x2-4x+48(12≤x≤16)

，
①当W=

1

8

x²+14时，∵当x≥0，函数W随着x增大而增大，∵1≤x＜6
∴当x=5时，W有最大值，最大值=17.125
②当W=

1

8

x²-2x+26时，∵W=

1

8

（x-8）²+18，当x≥8时，函数W随x增大而增大，
∴在x=11时，函数有最大值为19

1

8

；
③当W=

1

8

x²-4x+48时，∵W=

1

8

(x-16)2+16，
∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，
∴在x=12时，函数有最大值为18
综上所述，当x=11时，函数有最大值为19

1

8

．

点评：本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．